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A quoi servent les maths

masque  Bourguignon Jean Pierre in Libération (cité par à l'école du possible) — 01/12/2009

Peut-on parler de ce que font les mathématiciens aux non mathématiciens?

Souvent, le grand public assimile maths et calcul. C’est très réducteur. Les objets manipulés par les mathématiciens ce sont certes des nombres, mais tout autant des formes, des processus : de façon lapidaire, les maths sont la science des structures. Faire des maths c’est donner le même nom à des choses différentes disait Henri Poincaré. Car on observe, ou l’on démontre, que la manière dont des choses ou des processus très différents s’organisent suit les mêmes principes. Cette démarche débouche sur des processus d’abstraction de plus en plus profonds, qui relient nombres, structures, formes, topologies, hasard, probabilités…

Les maths nous parlent-elles vraiment de la Nature selon le propos de Galilée ?

Grand débat qui peut se poser ainsi : le mathématicien découvre t-il ou invente t-il ?

Pour moi, les maths ne sont pas qu’un langage du quantitatif mais bien une science qui se développe autour de pôles de connaissances, des concepts clés. Ainsi le concept de courbure, né à la fin 18ème siècle. Il a permis d’inventer les géométries non euclidiennes… donc la physique d’Einstein. Au tout début des relations entre mathématique et réalité sensible, avec l’astronomie, les maths s’identifiaient à leurs objets astronomiques réduits à des points en mouvement. Il n’y avait donc pas besoin de la notion, fondamentale en sciences modernes, de modèle. Faire les maths de la mécanique céleste, c’était (presque) faire de la mécanique céleste. Aujourd’hui, faire les maths de l’astrophysique n’est pas faire de l’astrophysique, il y manquerait, au moins, les concepts de la physique nucléaire ou de l’électromagnétisme. Inversement, il faut revenir à la formulation de Henri Poincaré qui, dans " Science et hypothèse ",  affirme que la question de savoir si une géométrie est vraie ou non n’a pas de sens (par référence au monde sensible) car on ne lui demande que d’être cohérente. Mais si on veut utiliser  une géométrie pour comprendre le monde sensible, il faut simplement utiliser celle qui est la plus commode. D’où la nécessité d’utiliser la notion de modèle, une appréhension en termes mathématiques d’une réalité, juge en dernier ressort de la qualité du modèle. Le résultat paradoxal de cette évolution c’est que le 20ème siècle est la conquête d’une autonomie véritable des maths par la prise de conscience de l’autonomie de la construction mathématique relativement au monde sensible. Le paradoxe, pour le grand public, c’est que des mathématiciens vivent cette autonomie en se posant comme les découvreurs d’un monde et non comme ses inventeurs.

Peut-on appliquer cette réflexion aux mathématiques financières qui ont joué un rôle dans la crise des bourses et de l’économie mondiale ?

Curieusement oui. J’y vois le résultat d’un manque de réflexion épistémologique sur les modèles utilisés et une dérive liée à la dérégulation massive. Chaque banque a embauché des mathématiciens pour développer des produits financiers de plus en plus sophistiqué, par une application des maths à leur objet. Mais, ce faisant, les mathématiques ont dépassé leur rôle d’outils de modélisation pour créer une nouvelle réalité, certes virtuelle au plan économique, mais dont l’impact fut important.

Tout cela a dégénéré non seulement en raison de l’écart croissant entre finance et économie réelle - des économistes, peu nombreux, l’avaient vu - mais aussi en raison d’un déséquilibre entre recherche appliquée et recherche fondamentale. Il aurait fallu se pencher sur ces outils utilisés par les banques, les confronter aux données financières et économiques globales, étudier la stabilité du système financier mondial… Ce qui était impossible puisque les banques gardaient pour elles les données qu’elles collectaient dans un contexte de compétition féroce, d’égoïsme, et aussi d’aveuglement idéologique, d’absence de réflexion épistémologique et éthique. Bref, pour anticiper la crise au plan mathématique, il aurait fallu un partage des connaissances, une vue d’ensemble et la construction d’un sous-bassement théorique sérieux comme bien public. En résumé, une bonne recherche fondamentale.

Comment se portent les mathématiques ?

Le grand public a du mal à imaginer à quel point les mathématiques sont une science vivante, créatrice, et même en croissance accélérée aujourd’hui. Elle est toujours mue par deux dynamiques. L’une est purement interne et repose sur les questions posées par les mathématiciens eux-mêmes qui conduisent à perfectionner les outils, les concepts, à construire de nouvelles visions. La seconde qui provient de la stimulation par d’autres disciplines et le monde extérieur. Dans le passé, la mécanique et la physique ont joué un rôle décisif dans cette démarche:l’ambition fut d’écrire en termes mathématiques les lois de la physique, c’est l’héritage fameux de Galilée.

Aujourd’hui, cette dimension continue de s’élargir: la chimie, la biologie, les sciences sociales (elles ont joué un grand rôle historique dans l’essor des probabilités), les mathématiques financières, la haute technologie. Cet élargissement a maintenant un impact certain sur l’emploi croissant de mathématiciens en entreprises à cause de la multiplication des champs où la modélisation mathématique apporte des informations importantes et quelquefois décisives. Ces extensions n’affectent pourtant pas l’unité de notre discipline. Elle ne vit pas repliée sur elle même, mais est transformée par les croisements entre ses grandes branches - algèbre, analyse, géométrie, théorie des nombres et probabilités - qui se fécondent les unes les autres pour répondre à ces stimulations. L’architecture interne des maths est du coup toujours mouvante, signe de leur vitalité.

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